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法学在等边三角形ABC中，D是BC边上一点，使得BD=BC/3。证明：9AD²=7AB²。
已知：等边三角形ABC，D是BC边上一点，使得BD=BC/3。
求证：9AD²=7AB²。
解答：
作AE⊥BC。
等边三角形的三条边相等，
∴ AB=BC=CA
设AB=BC=CA=x
已知
BD=BC/3
⇒ BD=x/3
在△AEB和△AEC中，
AE=AE [公共边]
AB=AC [都是x，因为是等边三角形]
∠AEB=∠AEC [都是90°，因为AE⊥BC]
因此，根据RHS全等，
△AEB ≅ △AEC
∴ BE=EC [全等三角形对应边相等]
所以，BE=EC=x/2
因为 BE=x/2
∴ BD+DE=x/2
⇒ x/3+DE=x/2
⇒ DE=x/2-x/3
⇒ DE=x/6
利用勾股定理，
(斜边)²=(高)²+(底)²
在△AEB中，
(AB)²=(AE)²+(BE)²
x²=(AE)²+(x/2)²
⇒ (AE)²=x²-x²/4
⇒ (AE)²=(4x²-x²)/4
⇒ (AE)²=3x²/4 ......(1)
同样，在△AED中
(AD)²=(AE)²+(DE)²
⇒ (AD)²=3x²/4+(x/6)² 根据(1)
⇒ (AD)²=3x²/4+x²/36
⇒ (AD)²=(27x²+x²)/36
⇒ (AD)²=28x²/36
⇒ (AD)²=7x²/9
⇒ 9(AD)²=7x²/9 * 9 [两边乘以9]
⇒ 9(AD)²=7x²
⇒ 9(AD)²=7(AB)²
证毕。
更新于：2022年10月10日
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