设$O$为$\triangle ABC$内部任意一点。
$OA + OB + OC > \frac{1}{2}(AB + BC + CA)$

已知

$O$是$\triangle ABC$内部任意一点。

要证明

我们需要证明$OA + OB + OC > \frac{1}{2}(AB + BC + CA)$。

解答

延长$BO$交$AC$于$D$。

由图可知：

在$\triangle OAB$，$\triangle OBC$和$\triangle OCA$中：

$OA + OB > AB$........(i)

$OB + OC > BC$.........(ii)

$OC + OA > CA$.........(iii)

将(i)、(ii)和(iii)式相加，得到：

$2(OA + OB + OC) > AB + BC + CA$

$OA + OB + OC > \frac{1}{2}(AB + BC + CA)$

证毕。

教程点

更新于：2022年10月10日

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