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法学如果G是三角形ABC的重心，证明：AB² + BC² + CA² = 3(GA² + GB² + GC²)
已知
G是三角形ABC的重心。
求证
我们必须证明AB² + BC² + CA² = 3(GA² + GB² + GC²)。
解答
设△ABC顶点的坐标为A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)，G为三角形的重心。
因此，
G的坐标为
让我们考虑左边（LHS），
AB² + BC² + CA² = (x₁-x₂)² + (y₁-y₂)² + (x₂-x₃)² + (y₂-y₃)² + (x₃-x₁)² + (y₃-y₁)²
= (x₁-x₂)² + (x₂-x₃)² + (x₃-x₁)² + (y₁-y₂)² + (y₂-y₃)² + (y₃-y₁)²
= x₁² + x₂² - 2x₁x₂ + x₂² + x₃² - 2x₂x₃ + x₃² + x₁² - 2x₃x₁ + y₁² + y₂² - 2y₁y₂ + y₂² + y₃² - 2y₂y₃ + y₃² + y₁² - 2y₁y₃
= 2(x₁² + x₂² + x₃²) - 2(x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁) + 2(y₁² + y₂² + y₃²) - 2(y₁y₂ + y₂y₃ + y₃y₁)
现在，让我们考虑右边（RHS），
3[GA² + GB² + GC²]
=3[ (x₁-(x₁+x₂+x₃)/3)² + (y₁-(y₁+y₂+y₃)/3)² + (x₂-(x₁+x₂+x₃)/3)² + (y₂-(y₁+y₂+y₃)/3)² + (x₃-(x₁+x₂+x₃)/3)² + (y₃-(y₁+y₂+y₃)/3)² ]
=3[ ((3x₁-x₁-x₂-x₃)/3)² + ((3y₁-y₁-y₂-y₃)/3)² + ((3x₂-x₁-x₂-x₃)/3)² + ((3y₂-y₁-y₂-y₃)/3)² + ((3x₃-x₁-x₂-x₃)/3)² + ((3y₃-y₁-y₂-y₃)/3)² ]
=3[ ((2x₁-x₂-x₃)/3)² + ((2y₁-y₂-y₃)/3)² + ((2x₂-x₁-x₃)/3)² + ((2y₂-y₁-y₃)/3)² + ((2x₃-x₁-x₂)/3)² + ((2y₃-y₁-y₂)/3)² ]
=3 × (1/9)[4x₁²+x₂²+x₃²-4x₁x₂+2x₂x₃-4x₃x₁+4y₁²+y₂²+y₃²-4y₁y₂+2y₂y₃-4y₃y₁+4x₂²+
x₁²+x₃²-4x₂x₁+2x₁x₃-4x₃x₁+4y₂²+y₃²+y₁²-4y₂y₃+2y₃y₁-4y₁y₂+4x₃²+x₁²+x₂²-4x₃x₁
+2x₁x₂-4x₂x₃+4y₃²+y₁²+y₂²-4y₃y₁+2y₁y₂-4y₂y₂]
=(1/3)[6x₁²+6x₂²-6x₁x₂-6x₂x₃-6x₃x₁+6y₁²+6y₂²+6y₃²-6y₁y₂-6y₂y₃-6y₃y₁]
=(1/3)[6(x₁²+x₂²+x₃²)-6(x₁x₂+x₂x₃+x₃x₁)+6(y₁²+y₂²+y₃²)-6(y₁y₂+y₂y₃+y₃y₁)]
=2[(x₁²+x₂²+x₃²)-2(x₁x₂+x₂x₃+x₃x₁)+2(y₁²+y₂²+y₃²)-2(y₁y₂+y₂y₃+y₃y₁)]
因此，
LHS = RHS
证毕。
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