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法律研究在直角三角形 ABC 中，C 为直角，D 和 E 分别是 CA 和 CB 上的点。证明 $AE^2 + BD^2 = AB^2 + DE^2$。
已知
D 和 E 分别是三角形 ABC 的边 CA 和 CB 上的点，其中 C 为直角。
要求
我们必须证明 $AE^2 + BD^2 = AB^2 + DE^2$。
解答
在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，$\angle \mathrm{C}=90^{\circ}$
这意味着，根据勾股定理，
$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BC}^{2}$.....(i)
在 $\triangle \mathrm{DCE}$ 中，
$\mathrm{DE}^{2}=\mathrm{DC}^{2}+\mathrm{CE}^{2}$........(ii)
将方程式 (i) 和 (ii) 相加，我们得到，
$\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{DE}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{DC}^{2}+\mathrm{CE}^{2}$
$=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{CE}^{2}+\mathrm{DC}^{2}+\mathrm{BC}^{2}$
$=\mathrm{AE}^{2}+\mathrm{BD}^{2}$ (因为 $\mathrm{BD}^{2}=\mathrm{DC}^{2}+\mathrm{BC}^{2}$ 且 $\mathrm{AE}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{CE}^{2}$)
证毕。
更新于: 2022年10月10日
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