在直角三角形 ABC 中，C 为直角，D 和 E 分别是 CA 和 CB 上的点。证明 $AE^2 + BD^2 = AB^2 + DE^2$。

已知

D 和 E 分别是三角形 ABC 的边 CA 和 CB 上的点，其中 C 为直角。

要求

我们必须证明 $AE^2 + BD^2 = AB^2 + DE^2$。

解答

在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，$\angle \mathrm{C}=90^{\circ}$

这意味着，根据勾股定理，

$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BC}^{2}$.....(i)

在 $\triangle \mathrm{DCE}$ 中，

$\mathrm{DE}^{2}=\mathrm{DC}^{2}+\mathrm{CE}^{2}$........(ii)

将方程式 (i) 和 (ii) 相加，我们得到，

$\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{DE}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{DC}^{2}+\mathrm{CE}^{2}$

$=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{CE}^{2}+\mathrm{DC}^{2}+\mathrm{BC}^{2}$

$=\mathrm{AE}^{2}+\mathrm{BD}^{2}$         (因为 $\mathrm{BD}^{2}=\mathrm{DC}^{2}+\mathrm{BC}^{2}$ 且 $\mathrm{AE}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{CE}^{2}$)

证毕。

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更新于: 2022年10月10日

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