$\triangle ABD$ 是一个以 A 为直角的直角三角形，且 $AC \perp BD$。
证明：

已知

$\triangle ABD$ 是一个以 A 为直角的直角三角形，且 $AC \perp BD$。

要求：

我们必须证明 $\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BD}{DC}$。

解答

在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle ABC$ 中，

$\angle DAB=\angle ACB=90^o$

$\angle B=\angle B$ (公共角)

因此，

$\triangle ADB \sim\ \triangle CAB$ (AA相似)

这意味着，

$\frac{AB}{CB}=\frac{BD}{AB}$ (相似三角形的对应边成比例)

$AB.AB=CB.BD$ (交叉相乘)

$AB^2=BC.BD$......(i)

设 $\angle CAB=x$，

这意味着，

$\angle CAD=90^o-x$

在 $\triangle CAB$ 中，

$\angle CAB+\angle BCA+\angle ABC=180^o$

$x+90^o+\angle ABC=180^o$

$\angle ABC=180^o-90^o-x=90^o-x$

在 $\triangle CAD$ 中，

$\angle CAD+\angle CDA+\angle ADC=180^o$

$90^o-x+90^o+\angle ADC=180^o$

$\angle ADC=180^o-180^o+x=x$

因此，

在 $\triangle CAB$ 和 $\triangle CAD$ 中，

$\angle CAB=\angle ADC=x$

$\angle ABC=\angle CAD=90^o-x$

因此，

$\triangle CAB \sim\ \triangle CDA$ (AA相似)

这意味着，

$\frac{AC}{DC}=\frac{BC}{AC}$ (相似三角形的对应边成比例)

$AC.AC=CB.DC$ (交叉相乘)

将方程 (i) 和 (ii) 相除，我们得到：

$\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BC.BD}{BC.DC}$

$\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BD}{DC}$

证毕。

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更新于：2022年10月10日

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