$\triangle ABD$ 是一个以 A 为直角的直角三角形，且 $AC \perp BD$。
$AC^2=BC.DC$

已知

$\triangle ABD$ 是一个以 A 为直角的直角三角形，且 $AC \perp BD$。

要求：

我们必须证明 $AC^2=BC.DC$。

解答

设 $\angle CAB=x$，

这意味着：

$\angle CAD=90^o-x$

在 $\triangle CAB$ 中：

$\angle CAB+\angle BCA+\angle ABC=180^o$

$x+90^o+\angle ABC=180^o$

$\angle ABC=180^o-90^o-x=90^o-x$

在 $\triangle CAD$ 中：

$\angle CAD+\angle CDA+\angle ADC=180^o$

$90^o-x+x+\angle ADC=180^o$ (此处原文有误，应为 $90^o-x + \angle ADC + x = 180^o$)

$\angle ADC=90^o$

因此：

在 $\triangle CAB$ 和 $\triangle CAD$ 中：

$\angle CAB=\angle ADC=x$ (此处应为 $\angle CAB = x$, $\angle CDA = 90-x$)

$\angle ABC=\angle CAD=90^o-x$

因此：

$\triangle CAB \sim \triangle CDA$ (根据 AA 相似)

这意味着：

$\frac{AC}{DC}=\frac{BC}{AC}$ (相似三角形的对应边成比例)

$AC^2=BC.DC$ (交叉相乘)

$AC^2=BC.DC$

证毕。

教程点

更新于：2022年10月10日

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