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法律在给定图形中，ABD 是一个直角三角形，∠A 为直角，且 AC ⊥ BD。证明：
(i) AB² = BC·BD
(ii) AC² = BC·DC
(iii) AD² = BD·CD
"
已知
△ABD 是一个以 A 为直角的直角三角形，且 AC ⊥ BD。
要求：
我们需要证明
(i) AB² = BC·BD
(ii) AC² = BC·DC
(iii) AD² = BD·CD
解答
(i) 在△ABD 和△ABC 中，
∠DAB = ∠ACB = 90°
∠B = ∠B (公共角)
因此，
△ADB ∽ △CAB (根据 AA 相似性)
这意味着，
AB/CB = BD/AB (相似三角形的对应边成比例)
AB·AB = CB·BD (交叉相乘)
AB² = BC·BD
证毕。
(ii) 令∠CAB = x，
这意味着，
∠CAD = 90° - x
在△CAB 中，
∠CAB + ∠BCA + ∠ABC = 180°
x + 90° + ∠ABC = 180°
∠ABC = 180° - 90° - x = 90° - x
在△CAD 中，
∠CAD + ∠CDA + ∠ADC = 180°
90° - x + 90° + ∠ADC = 180°
∠ADC = 180° - 180° + x = x
因此，
在△CAB 和△CAD 中，
∠CAB = ∠ADC = x
∠ABC = ∠CAD = 90° - x
因此，
△CAB ∽ △CDA (根据 AA 相似性)
这意味着，
AC/DC = BC/AC (相似三角形的对应边成比例)
AC·AC = CB·DC (交叉相乘)
AC² = BC·DC
证毕。
(iii) 在△DCA 和△DAB 中，
∠DCA = ∠DAB = 90°
∠CDA = ∠BDA (公共角)
因此，
△DCA ∽ △DAB (根据 AA 相似性)
这意味着，
DC/DA = DA/DB (相似三角形的对应边成比例)
DA·DA = DB·DC (交叉相乘)
AD² = BD·CD
证毕。
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