在给定图形中，$O$是三角形ABC内部的一点，$OD \perp BC, OE \perp AC$和$OF \perp AB$。证明
(i) $OA^2 + OB^2 + OC^2 - OD^2 - OE^2 - OF^2 = AF^2 + BD^2 + CE^2$.
(ii) $AF^2 + BD^2 + CE^2 = AE^2 + CD^2 + BF^2$.
"

已知

$O$是三角形ABC内部的一点，$OD \perp BC, OE \perp AC$和$OF \perp AB$。

需要证明： 

我们需要证明 

(i) $OA^2 + OB^2 + OC^2 - OD^2 - OE^2 - OF^2 = AF^2 + BD^2 + CE^2$.

(ii) $AF^2 + BD^2 + CE^2 = AE^2 + CD^2 + BF^2$.

解答

连接$OA, OB$和$OC$

(i) 在$\triangle \mathrm{AOF}$中，根据勾股定理，

$\mathrm{OA}^{2}=\mathrm{OF}^{2}+\mathrm{AF}^{2}$

$\mathrm{AF}^{2}=\mathrm{OA}^{2}-\mathrm{OF}^{2}$

在$\triangle \mathrm{BDO}$中，

$\mathrm{OB}^{2}=\mathrm{BD}^{2}+\mathrm{OD}^{2}$

$\mathrm{BD}^{2}=\mathrm{OB}^{2}-\mathrm{OD}^{2}$

在$\triangle \mathrm{CEO}$中，

$\mathrm{OC}^2=\mathrm{CE}^{2}+\mathrm{OE}^{2}$

$\mathrm{CE}^{2} =\mathrm{OC}^{2}-\mathrm{OE}^{2}$

因此，

$\mathrm{AF}^{2}+\mathrm{BD}^{2}+\mathrm{CE}^{2}=\mathrm{OA}^{2}-\mathrm{OB}^{2}+\mathrm{OC}^{2}-\mathrm{OD}^{2}-\mathrm{OE}^{2}+\mathrm{COF}^{2}$

证毕。

(ii) 在$\triangle \mathrm{AOF}$中，根据勾股定理，

$\mathrm{OA}^{2}=\mathrm{OF}^{2}+\mathrm{AF}^{2}$

$\mathrm{AF}^{2}=\mathrm{OA}^{2}-\mathrm{OF}^{2}$

在$\triangle \mathrm{BDO}$中，

$\mathrm{OB}^{2}=\mathrm{BD}^{2}+\mathrm{OD}^{2}$

$\mathrm{BD}^{2}=\mathrm{OB}^{2}-\mathrm{OD}^{2}$

在$\triangle \mathrm{CEO}$中，

$\mathrm{OC}^2=\mathrm{CE}^{2}+\mathrm{OE}^{2}$

$\mathrm{CE}^{2} =\mathrm{OC}^{2}-\mathrm{OE}^{2}$

因此，

$\mathrm{AF}^{2}+\mathrm{BD}^{2}+\mathrm{CE}^{2}=\mathrm{OA}^{2}-\mathrm{OB}^{2}+\mathrm{OC}^{2}-\mathrm{OD}^{2}-\mathrm{OE}^{2}+\mathrm{COF}^{2}$.......(i)

$\mathrm{OA}^{2}-\mathrm{OF}^{2}+\mathrm{OB}^{2}-\mathrm{OD}^{2}+\mathrm{OC}^{2}-\mathrm{OE}^{2}=\mathrm{AF}^{2}+\mathrm{BD}^{2}+\mathrm{CE}^{2}$

$(\mathrm{OA}^{2}-\mathrm{OE}^{2})+(\mathrm{OC}^{2}-\mathrm{OD}^{2})+(\mathrm{OB}^{2}-\mathrm{OF}^{2})=\mathrm{AE}^{2}+\mathrm{CD}^{2}+\mathrm{BF}^{2}$............(ii)
由(i)和(ii)，我们得到，

$\mathrm{AF}^{2}+\mathrm{BD}^{2}+\mathrm{CE}^{2}=\mathrm{AE}^{2}+\mathrm{CD}^{2}+\mathrm{BF}^{2}$

教程点

更新于: 2022年10月10日

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