PQR是一个直角三角形，∠P=90°，M是QR上的一点，且PM⊥QR。证明PM² = QM·MR。
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已知

PQR是一个直角三角形，∠P=90°，M是QR上的一点，且PM⊥QR。

要求

我们必须证明PM² = QM·MR。

解答

在直角三角形PQR中，

∠P = 90°

PM⊥QR

在△PMR中，根据勾股定理

PR² = PM² + RM² ……(i)

在△PMQ中，根据勾股定理，

PQ² = PM² + MQ² ……(ii)

在△PQR中，根据勾股定理，

RQ² = RP² + PQ² ……(iii)

因此，

(RM + MQ)² = RP² + PQ²

RM² + MQ² + 2RM·MQ = RP² + PQ² ……(iv)

将(i)和(ii)相加，得到

PR² + PQ² = 2PM² + RM² + MQ² ……(v)

从(iv)和(v)得到，

2RM·MQ = 2PM²

PM² = RM·MQ

证毕。

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更新时间： 2022年10月10日

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