已知三角形ABC中，边AB、BC和中线AD分别与三角形PQR的边PQ、QR和中线PM成比例（如图所示）。求证：三角形ABC与三角形PQR相似。

已知

三角形ABC中，边AB、BC和中线AD分别与三角形PQR的边PQ、QR和中线PM成比例。

要求

我们必须证明三角形ABC与三角形PQR相似。

解答

在三角形ABC和三角形PQR中：

$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AD}{PM}$

$\frac{AB}{PQ} = \frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}QR} = \frac{AD}{PM}$

$\frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM} = \frac{AD}{PM}$

因此，根据SSS相似性准则：

三角形ABD与三角形PQM相似

这意味着：

∠B = ∠Q (对应角相等)

在三角形ABC和三角形PQR中：

∠B = ∠Q

$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR}$

因此，根据SAS相似性准则：

三角形ABC与三角形PQR相似

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更新于：2022年10月10日

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