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如果 $AD$ 和 $PM$ 分别是 $\vartriangle ABC$ 和 $\vartriangle PQR$ 的中线，其中 $\vartriangle ABC\sim \vartriangle PQR$ 。证明 $\frac{AB}{PQ}=\frac{AD}{PM}$ 。

学术数学 NCERT 10 年级

已知：

$AD$ 和

$PM$ 分别是

$\vartriangle ABC$ 和

$\vartriangle PQR$ 的中线，其中

$\vartriangle ABC\sim \vartriangle PQR$ 。

要求：证明

$\frac{AB}{PQ}=\frac{AD}{PM}$ 。

解答

已知

$\vartriangle ABC \sim \vartriangle PQR$

我们知道相似三角形的对应边成比例。

$\therefore \frac{AB}{PQ}=\frac{AC}{PR}=\frac{BC}{QR}\ ...\ ( i)$

此外，

$\angle A = \angle P,\ \angle B = \angle Q,\ \angle C = \angle R\ ...\ ( ii)$

$\because AD$ 和

$PM$ 是中线，所以它们分别平分它们的对边

$BC$ 和

$QR$ 。

$\therefore BD=\frac{BC}{2}$ 和

$QM=\frac{QR}{2}\ ...\ ( iii)$

由式

$( i)$ 和

$( iii)$ ，我们得到

$\frac{AB}{PQ}=\frac{BD}{QM}\ ...\ ( iv)$

在

$\vartriangle ABD$ 和

$\vartriangle PQM$ 中，

$\angle B = \angle Q$ [由式

$( ii)$ ]

$\frac{AB}{PQ}=\frac{BD}{QM}$ [由式

$( iv)$ ]

$\therefore \vartriangle ABD \sim \vartriangle PQM$ [根据SAS相似准则)]

$\Rightarrow \frac{AB}{PQ}=\frac{BD}{QM}=\frac{AD}{PM}$

教程点

更新于： 2022年10月10日

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