证明对于所有 $a, b$ 和 $c$ 的值，$a^2 + b^2 + c^2 – ab – bc – ca$ 始终非负。

待办事项

我们需要证明对于所有 $a, b$ 和 $c$ 的值，$a^2 + b^2 + c^2 – ab – bc – ca$ 始终非负。

解答

我们知道：

$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$

$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

因此：

$a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a$

将上述表达式乘以 2 并除以 2，得到：

$\frac{2}{2}\times a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a=\frac{1}{2}[2 a^{2}+2 b^{2}+2 c^{2}-2 a b-2 b c-2 c a]$

$=\frac{1}{2}[a^{2}+b^{2}-2 a b+b^{2}+c^{2}-2 b c+c^{2}+a^{2}-2 c a]$

$=\frac{1}{2}[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}]$

对于所有 $a, b$ 和 $c$ 的值，任何数字的平方和始终非负。

证毕。

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更新于： 2022年10月10日

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