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法律如果 $G$ 是三角形 ABC 的重心，$P$ 是平面上的任意一点，证明 $PA^2 + PB^2 + PC^2 = GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3GP^2$。
已知
$G$ 是三角形 ABC 的重心，$P$ 是平面上的任意一点。
要求
我们需要证明 $PA^2 + PB^2 + PC^2 = GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3GP^2$。
解答
设 $G(u,v)$ 是 $\triangle ABC$ 的重心，$A$ 的坐标为 $(x_1, y_1)$，$B$ 的坐标为 $(x_2, y_2)$，$C$ 的坐标为 $(x_3, y_3)$。
设 $P (h, k)$ 为平面上的任意一点。
重心 \( \mathrm{G} \) 的坐标为 \( (\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}) \)
这意味着，
\( u=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3} \) 且 \( v=\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3} \)
让我们考虑左侧，
\( \mathrm{PA}^{2}+\mathrm{PB}^{2}+\mathrm{PC}^{2}=\left(h-x_{1}\right)^{2}+\left(k-y_{1}\right)^{2}+\left(h-x_{2}\right)^{2}+\left(k-y_{2}\right)^{2}+\left(h-x_{3}\right)^{2}+\left(k-y_{3}\right)^{2} \)
\( = 3\left(h^{2}+k^{2}\right)+\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)+\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right)-2 h\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)-2 k\left(y_{1}+y_{2}+y_{3}\right) \)
\( =\left(3 h^{2}+k^{2}\right)+\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)+\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right)-2 h(3 u)-2 k(3 v) \)
\( =3\left(h^{2}+k^{2}\right)-6 h u-6 k v+\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)+\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right) \)
现在，让我们考虑右侧，
\( \mathrm{G} \mathrm{A}^{2}+\mathrm{GB}^{2}+\mathrm{GC}^{2}+3 \mathrm{GD}^{2} \)
\( =\left(u-x_{1}\right)^{2}+\left(v-y_{1}\right)^{2}+\left(u-x_{2}\right)^{2}+\left(v-y_{2}\right)^{2}+\left(u-x_{3}\right)^{2}+\left(v-y_{3}\right)^{2}+3\left[(u-h)^{2}+(v-k)^{2}\right] \)
\( =3\left(u^{2}+v^{2}\right)+\left(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+x_{3}^{2}+y_{3}^{2}\right)-2 u\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)-2 v\left(y_{1}+y_{2}+y_{3}\right) \)
\( +3\left(u^{2}+h^{2}-2 u h+v^{2}+k^{2}-2 v k\right) \)
\( =6\left(u^{2}+v^{2}\right)+\left(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+x_{3}^{2}+y_{3}^{2}\right)-2 u(3 u)-2 v(3 v)+3\left(h^{2}+k^{2}\right)-6 u h-6 v k \)
\( =\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)+\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right)+3\left(h^{2}+k^{2}\right)-6 u h-6 v k \)
因此，
左侧 = 右侧。
证毕。
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