如果 $G$ 是三角形 ABC 的重心，$P$ 是平面上的任意一点，证明 $PA^2 + PB^2 + PC^2 = GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3GP^2$。

 已知

$G$ 是三角形 ABC 的重心，$P$ 是平面上的任意一点。

要求

我们需要证明 $PA^2 + PB^2 + PC^2 = GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3GP^2$。

解答

设 $G(u,v)$ 是 $\triangle ABC$ 的重心，$A$ 的坐标为 $(x_1, y_1)$，$B$ 的坐标为 $(x_2, y_2)$，$C$ 的坐标为 $(x_3, y_3)$。

设 $P (h, k)$ 为平面上的任意一点。

重心 $\mathrm{G}$ 的坐标为 $(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})$

这意味着，

$u=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}$ 且 $v=\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}$

让我们考虑左侧，

$\mathrm{PA}^{2}+\mathrm{PB}^{2}+\mathrm{PC}^{2}=\left(h-x_{1}\right)^{2}+\left(k-y_{1}\right)^{2}+\left(h-x_{2}\right)^{2}+\left(k-y_{2}\right)^{2}+\left(h-x_{3}\right)^{2}+\left(k-y_{3}\right)^{2}$

$= 3\left(h^{2}+k^{2}\right)+\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)+\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right)-2 h\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)-2 k\left(y_{1}+y_{2}+y_{3}\right)$

$=\left(3 h^{2}+k^{2}\right)+\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)+\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right)-2 h(3 u)-2 k(3 v)$

$=3\left(h^{2}+k^{2}\right)-6 h u-6 k v+\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)+\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right)$

现在，让我们考虑右侧，
$\mathrm{G} \mathrm{A}^{2}+\mathrm{GB}^{2}+\mathrm{GC}^{2}+3 \mathrm{GD}^{2}$

$=\left(u-x_{1}\right)^{2}+\left(v-y_{1}\right)^{2}+\left(u-x_{2}\right)^{2}+\left(v-y_{2}\right)^{2}+\left(u-x_{3}\right)^{2}+\left(v-y_{3}\right)^{2}+3\left[(u-h)^{2}+(v-k)^{2}\right]$

$=3\left(u^{2}+v^{2}\right)+\left(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+x_{3}^{2}+y_{3}^{2}\right)-2 u\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)-2 v\left(y_{1}+y_{2}+y_{3}\right)$
$+3\left(u^{2}+h^{2}-2 u h+v^{2}+k^{2}-2 v k\right)$

$=6\left(u^{2}+v^{2}\right)+\left(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+x_{3}^{2}+y_{3}^{2}\right)-2 u(3 u)-2 v(3 v)+3\left(h^{2}+k^{2}\right)-6 u h-6 v k$

$=\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)+\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right)+3\left(h^{2}+k^{2}\right)-6 u h-6 v k$
因此，

左侧 = 右侧。

证毕。

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更新于： 2022-10-10

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