设$O$是$\triangle ABC$内部任意一点。
$AB + BC + CA > OA + OB + OC$

已知

$O$是$\triangle ABC$内部任意一点。

要求

我们必须证明$AB + BC + CA > OA + OB + OC$。

解答

延长$BO$交$AC$于$D$。

从图中，

$AB + AD > BD$                 (三角形两边之和大于第三边)

$AB + AD > BO + OD$.......…(i)

类似地，

在$\triangle ODC$中，

$OD + DC > OC$.......…(ii)

将方程(i)和(ii)相加，得到：

$AB + AD + OD + DC > OB + OD + OC$

$AB + AD + DC > OB + OC$

$AB + AC > OB + OC$.......(iii)

类似地，

$BC + AB > OA + OC$.........(iv)

$CA + BC > OA + OB$...........(v)

将方程(iii)、(iv)和(v)相加，得到：

$2(AB+BC+CA)>2(OA+OB+OC)$

$AB+BC+CA>OA+OB+OC$

证毕。

教程点

更新于: 2022年10月10日

31 次浏览

开启您的职业生涯

通过完成课程获得认证

开始学习