O 是三角形 ABC 的外心，OD 垂直于 BC。证明∠BOD = ∠A。

已知

O 是三角形 ABC 的外心，OD 垂直于 BC。

待证

我们必须证明∠BOD = ∠A。

解答

连接 OC。

弧 BC 在圆心处张成∠BOC，在圆周其余部分张成∠BAC。

因此，

∠BOC = 2∠A ……(i)

在直角三角形 OBD 和△OCD 中

OD = OD           (公共边)

OB = OC           (圆的半径)

因此，根据 RHS 全等定理，

△OBD ≅ △OCD

这意味着，

∠BOD = ∠COD = ½∠BOC

∠BOC = 2∠BOD ……(ii)

由 (i) 和 (ii) 可得，

2∠BOD = 2∠A

∠BOD = ∠A
证毕。

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更新于：2022年10月10日

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