在任意三角形\( \mathrm{ABC} \)中，如果\( \angle \mathrm{A} \)的角平分线与\( \mathrm{BC} \)的垂直平分线相交，证明它们相交于三角形\( \mathrm{ABC} \)的外接圆上。

已知：

在三角形\( \mathrm{ABC} \)中，\( \angle \mathrm{A} \)的角平分线与\( \mathrm{BC} \)的垂直平分线相交。

要求：

我们必须证明它们相交于三角形\( \mathrm{ABC} \)的外接圆上。

解答

设$ABC$是一个三角形，其中\( \angle \mathrm{A} \)的角平分线与\( \mathrm{BC} \)的垂直平分线在$E$点相交，如图所示。

连接 $BE$ 和 $CE$

$AE$ 是 $\angle BAC$ 的平分线

这意味着：

$\angle BAE = \angle CAE$

$弧 BE = 弧 EC$

这意味着：

弦 $BE =$ 弦 $EC$

在 $\triangle BDE$ 和 $\triangle CDE$ 中：

$DE = DE$ (公共边)

$BD = CD$ (已知)

$BE = CE$ (已证)

因此，根据SSS全等，

$\triangle BDE \cong \triangle CDE$

这意味着：

$\angle BDE = \angle CDE$

$\angle BDE + \angle CDE = 180^o$ (线性对)

$2\angle BDE=180^o$

$\angle BDE=\frac{180^o}{2}$

$\angle BDE=90^o$

$\angle CDE = \angle BDE = 90^o$

因此，

$DE \perp BC$

$BE = CE$ 且 $DE \perp BC$

点 $E$ 与点 $B$ 和 $C$ 等距。只有当点 $E$ 位于 $BC$ 的垂直平分线上时才有可能。

这意味着：

$ED$ 是 $BC$ 的垂直平分线。

因此，$BC$ 的垂直平分线和 $\angle A$ 的角平分线在三角形\( \mathrm{ABC} \)的外接圆上的 $E$ 点相交。

证毕。

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更新于：2022年10月10日

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