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法律研究三角形$ABC$中，$\angle B = 2\angle C$，$D$是$BC$上一点，使得$AD$平分$\angle BAC$，且$AB = CD$。证明$\angle BAC = 72^o$。
已知
三角形$ABC$中，$\angle B = 2\angle C$，$D$是$BC$上一点，使得$AD$平分$\angle BAC$，且$AB = CD$。
要求
我们必须证明$\angle BAC = 72^o$。
解答
作$\angle A B C$的角平分线，交$AC$于$P$。
连接$PD$
设$\angle A C B=y$，$\angle B A D=\angle D A C=x$
$\angle B=\angle A B C=2 \angle C=2 y$
$\angle B A C=2 x$
因此，$AD$是$\angle BAC$的平分线
在$\triangle B P C$中
$\angle C B P=y$
因此，$BP$是$\angle A B C$的平分线
$\angle P C B=y$
$\angle C B P=\angle P C B=y$
这意味着，
$P C=B P$
在$\triangle \mathrm{ABP}$和$\triangle DCP$中，我们有，
$\angle \mathrm{ABP}=\angle \mathrm{DCP}=\mathrm{y}$
$\mathrm{AB}=\mathrm{DC}$
$\mathrm{PC}=\mathrm{BP}$
因此，根据SAS公理，
$\triangle \mathrm{ABP} \cong \triangle \mathrm{DCP}$
这意味着，
$\angle B A P=\angle C D P$
$A P=D P$ (对应边相等)
$\angle B A P=\angle C D P=2 x$
在$\triangle A B D$中，
$\angle \mathrm{ABD}+\angle B A D+\angle A D B=180^{\circ}$
$\angle A D B+\angle A D C=180^{\circ}$
$2 x+2 y+y=180^{\circ}$
$2 y+3 y=180^{\circ}$
$5 y=180^{\circ}$
$y=\frac{180^{\circ}}{5}$
$y=36^{\circ}$
因此，$x=y=36^{\circ}$
$\angle A=\angle B A C=2 x=2 \times 36^{\circ}=72^{\circ}$
因此，
$\angle B A C=72^{\circ}$
证毕。
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