在△ABC中，D、E、F分别在BC、CA、AB边上，AD平分∠A，BE平分∠B，CF平分∠C。已知AB = 5cm，BC = 8cm，CA = 4cm，求AF、CE和BD的长度。

已知

在△ABC中，D、E、F分别在BC、CA、AB边上，AD平分∠A，BE平分∠B，CF平分∠C。

AB = 5cm，BC = 8cm，CA = 4cm。

要求

求AF、CE和BD的长度。

解答

我们知道：

三角形内角平分线将对边分成与夹角两边成比例的两段。

因此：

在△ABC中，CF平分∠C。

$\frac{AF}{FB}=\frac{AC}{BC}$ $\frac{AF}{AB-AF}=\frac{4}{8}$

$\frac{AF}{5-AF}=\frac{1}{2}$ $2AF=1(5-AF)$

$2AF+AF=5$

$3AF=5$ $AF=\frac{5}{3}\ cm$

类似地：

在△ABC中，BE平分∠B。

$\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BC}$ $\frac{AC-CE}{CE}=\frac{5}{8}$

$\frac{4-CE}{CE}=\frac{5}{8}$ $8(4-CE)=5(CE)$

$32-8CE=5CE$

$32=(8+5)CE$ $CE=\frac{32}{13}\ cm$

类似地：

在△ABC中，AD平分∠A。

$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$ $\frac{BD}{BC-BD}=\frac{5}{4}$

$\frac{BD}{8-BD}=\frac{5}{4}$ $4BD=5(8-BD)$

$4BD=40-5BD$

$(4+5)BD=40$ $BD=\frac{40}{9}\ cm$

因此：

$AF=\frac{5}{3}\ cm$，$CE=\frac{32}{13}\ cm$，$BD=\frac{40}{9}\ cm$。

教程点

更新于：2022年10月10日

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