在等边三角形ABC中，D是BC边上的一点，使得$BD = \frac{1}{3}BC$。证明$9AD^2 = 7AB^2$。

已知：

等边三角形$\vartriangle ABC$，D是BC边上一点，满足$BD=\frac{1}{3}BC$。

求证：

我们需要证明$9AD^{2}=7AB^{2}$。

解：

作$AE\perp BC$。

等边三角形的三条边相等，

$\therefore AB=BC=CA$

设$AB=BC=CA=x$

由题意可知

$BD=\frac{1}{3}BC$

$\Rightarrow BD=\frac{x}{3}$

在$\vartriangle AEB$和$\vartriangle AEC$中，

$AE=AE$ [公共边]

$AB=AC=x$ [等边三角形]

$\angle AEB=\angle AEC=90^o$ [$AE\perp BC$]

因此，根据RHS全等定理，

$\vartriangle AEB \cong \vartriangle AEC$

这意味着，

$BE=EC$ [全等三角形对应边相等]

$BE=EC=\frac{x}{2}$

$\Rightarrow BD+DE=\frac{x}{2}$

$\Rightarrow \frac{x}{3}+DE=\frac{x}{2}$

$\Rightarrow DE=\frac{x}{2}-\frac{x}{3}$

$\Rightarrow DE=\frac{x}{6}$

根据勾股定理，

$(斜边)^{2}=(高)^{2}+(底)^{2}$

在$\vartriangle AEB$中，

$(AB)^{2}=(AE)^{2}+(BE)^{2}$

$x^{2}=(AE)^{2}+( \frac{x}{2})^{2}$

$\Rightarrow (AE)^{2}=x^{2}-\frac{x^{2}}{4}$

$\Rightarrow (AE)^{2}=\frac{4x^{2}-x^{2}}{4}$

$\Rightarrow ( AE)^2=\frac{3x^{2}}{4}$.........(i)

类似地，在$\vartriangle AED$中

$(AD)^{2}=(AE)^{2}+(DE)^{2}$

$\Rightarrow (AD)^{2}=\frac{3x^{2}}{4}+( \frac{x}{6})^{2}$   [由(i)式]

$\Rightarrow (AD)^{2}=\frac{3x^{2}}{4}+\frac{x^{2}}{36}$

$\Rightarrow (AD)^{2}=\frac{27x^{2}+x^{2}}{36}$

$\Rightarrow (AD)^{2}=\frac{28x^{2}}{36}$

$\Rightarrow (AD)^{2}=\frac{7x^{2}}{9}$

$\Rightarrow 9(AD)^{2}=\frac{7x^{2}}{9}\times 9$ [两边乘以9]

$\Rightarrow 9(AD)^{2}=7x^{2}$

$\Rightarrow 9(AD)^{2}=7(AB)^{2}$

证毕。

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更新于：2022年10月10日

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