在给定图形中，$D$是$∆ABC$斜边$AC$上的一点，$DM \perp BC$且$DN \perp AB$。
$DN^2 = DM \times AN$
"

在四边形$MBND$中，

$\angle \mathrm{M}+\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{N}+\angle \mathrm{D}=360^{\circ}$

$90^{\circ}+90^{\circ}+90^{\circ}+\angle \mathrm{D}=360^{\circ}$

$\angle \mathrm{D}=360^{\circ}-270^{\circ}$

$=90^{\circ}$

这意味着，

四边形$MBND$是矩形。

因此，

$\angle \mathrm{NDB}=\angle \mathrm{MDB}=45^{\circ}$ (矩形的对角线平分角)

$\angle \mathrm{CDM}=\angle \mathrm{ADN}=45^{\circ}$

在$\triangle \mathrm{CMD}$和$\triangle \mathrm{BMD}$中，

$\angle \mathrm{CMD}=\angle \mathrm{BMD}$

$\angle \mathrm{CDM}=\angle \mathrm{BDM}$

因此，根据AA相似性，

$\triangle \mathrm{CMD} \sim \triangle \mathrm{BMD}$

这意味着，

$\frac{\mathrm{DM}}{\mathrm{MB}}=\frac{\mathrm{MC}}{\mathrm{DM}}$ (比例中项)

$\mathrm{DM}^{2}=\mathrm{MB} \times \mathrm{MC}$

$=\mathrm{DN} \times \mathrm{MC}$ (因为$MB = DN$)

在$\triangle \mathrm{DNB}$和$\triangle \mathrm{AND}$中，

$\angle \mathrm{DMB}=\angle \mathrm{AND}$

$\angle \mathrm{ADN}=\angle \mathrm{BDN}$

因此，根据AA相似性，

$\triangle \mathrm{DNB} \sim \triangle \mathrm{AND}$

这意味着，

$\frac{\mathrm{DN}}{\mathrm{AN}}=\frac{\mathrm{NB}}{\mathrm{DN}}$ (比例中项)

$\mathrm{DN}^{2}=\mathrm{AN} \times \mathrm{NB}$

$\mathrm{DN}^{2}=\mathrm{DM} \times \mathrm{AN}$ (因为$NB = DM$)

证毕。