四边形\( \mathrm{ABCD} \)是一个圆内接四边形,其对角线交于点\( \mathrm{E} \)。如果\( \angle \mathrm{DBC}=70^{\circ} \),\( \angle \mathrm{BAC} \)为\( 30^{\circ} \),求\( \angle \mathrm{BCD} \)。此外,如果\( \mathrm{AB}=\mathrm{BC} \),求\( \angle \mathrm{ECD} \)。
已知
\( \mathrm{ABCD} \)是一个圆内接四边形,其对角线交于点\( \mathrm{E} \)。
\( \angle \mathrm{DBC}=70^{\circ} \),\( \angle \mathrm{BAC} \)为\( 30^{\circ} \)
\( \mathrm{AB}=\mathrm{BC} \)
要做的:
我们需要求\( \angle \mathrm{BCD} \)和\( \angle \mathrm{ECD} \)。
解答
我们知道,
圆中同弧所对的圆周角相等。
这意味着,
$\angle BDC = \angle BAC=30^o$
在$\triangle BCD$中,
$\angle BDC + \angle DBC + \angle BCD = 180^o$
$30^o+70^o+\angle BCD=180^o$
$100^o+\angle BCD=180^o$
$\angle BCD=180^o-100^o$
$\angle BCD=80^o$
$AB = BC$
这意味着,
$\angle BCA = \angle BAC= 30^o$ (三角形中,等边对等角)
$\angle ECD = \angle BCD - \angle BCA$
$= 80^o - 30^o$
$= 50^o$
因此,$\angle BCD = 80^o$ 和 $\angle ECD = 50^o$。
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