如果 $P$ 是平行四边形 $ABCD$ 内部任意一点，则证明三角形 $APB$ 的面积小于平行四边形面积的一半。

已知

$P$ 是平行四边形 $ABCD$ 内部任意一点。

要求

我们需要证明三角形 $APB$ 的面积小于平行四边形面积的一半。

解答

连接 $AP$ 和 $BP$。
作 $DN \perp AB$ 和 $PM \perp AM$。

平行四边形 $\mathrm{ABCD}$ 的面积 = $\mathrm{AB} \times \mathrm{DN}$..........(i)

三角形 $\mathrm{APB}$ 的面积 = $\frac{1}{2} \mathrm{AB} \times \mathrm{PM}$...............(ii)

由 (i) 和 (ii) 可得，

$\mathrm{DN}>\mathrm{PM}$ 或 $\mathrm{PM}

$\mathrm{AB} \times \mathrm{PM}

$\frac{1}{2} \mathrm{AB} \times \mathrm{PM}

$\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{PAB})

证毕。

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更新时间: 2022年10月10日

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