如果$AD$是三角形$ABC$的中线，则证明三角形$ADB$和$ADC$面积相等。如果$G$是中线$AD$的中点，则证明$ar(\triangle BGC) = 2ar(\triangle AGC)$。

已知

$AD$是三角形$ABC$的中线。

$G$是中线$AD$的中点。

需要证明

我们需要证明三角形$ADB$和$ADC$面积相等，以及$ar(\triangle BGC) = 2ar(\triangle AGC)$。

解答

连接$BG$和$CF$。
作$AL \perp BC$

$\mathrm{AD}$是$\triangle \mathrm{ABC}$的中线

这意味着，

$\mathrm{BD}=\mathrm{DC}$

$\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{ABD})=\frac{1}{2}$底$\times$高

$=\frac{1}{2} \mathrm{BD} \times \mathrm{AL}$.........(i)

$\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{ACD})=\frac{1}{2} \times \mathrm{CD} \times \mathrm{AL}$

$=\frac{1}{2} \times \mathrm{BD} \times \mathrm{AL}$.............(ii)        (因为$\mathrm{BD}=\mathrm{DC}$)

由(i)和(ii)，

$\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{ABD})=\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{ACD})$

在$\triangle \mathrm{BGC}$中，$\mathrm{GD}$是中线。

$\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{BGD})=\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{CGD})$

类似地，

在$\triangle \mathrm{ACD}$中，$\mathrm{G}$是$\mathrm{AD}$的中点，$\mathrm{CG}$是中线。

$\operatorname{ar}(Delta \mathrm{AGC})=\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{CGD})$

由(i)和(ii)，

$\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{BGD})=\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{AGC})$

$\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{BGC})=2 \operatorname{ar}(\Delta \mathrm{BGD})$

这意味着，

$\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{BGC})=2 \operatorname{ar}(\triangle \mathrm{AGC})$

证毕。

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更新于: 2022年10月10日

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