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法律研究如果$AD$是三角形$ABC$的中线，则证明三角形$ADB$和$ADC$面积相等。如果$G$是中线$AD$的中点，则证明$ar(\triangle BGC) = 2ar(\triangle AGC)$。
已知
$AD$是三角形$ABC$的中线。
$G$是中线$AD$的中点。
需要证明
我们需要证明三角形$ADB$和$ADC$面积相等，以及$ar(\triangle BGC) = 2ar(\triangle AGC)$。
解答
连接$BG$和$CF$。
作$AL \perp BC$
$\mathrm{AD}$是$\triangle \mathrm{ABC}$的中线
这意味着，
$\mathrm{BD}=\mathrm{DC}$
$\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{ABD})=\frac{1}{2}$底$\times$高
$=\frac{1}{2} \mathrm{BD} \times \mathrm{AL}$.........(i)
$\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{ACD})=\frac{1}{2} \times \mathrm{CD} \times \mathrm{AL}$
$=\frac{1}{2} \times \mathrm{BD} \times \mathrm{AL}$.............(ii) (因为$\mathrm{BD}=\mathrm{DC}$)
由(i)和(ii)，
$\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{ABD})=\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{ACD})$
在$\triangle \mathrm{BGC}$中，$\mathrm{GD}$是中线。
$\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{BGD})=\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{CGD})$
类似地，
在$\triangle \mathrm{ACD}$中，$\mathrm{G}$是$\mathrm{AD}$的中点，$\mathrm{CG}$是中线。
$\operatorname{ar}(Delta \mathrm{AGC})=\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{CGD})$
由(i)和(ii)，
$\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{BGD})=\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{AGC})$
$\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{BGC})=2 \operatorname{ar}(\Delta \mathrm{BGD})$
这意味着，
$\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{BGC})=2 \operatorname{ar}(\triangle \mathrm{AGC})$
证毕。
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