已知$AD$是等边三角形$ABC$的高。以$AD$为底边，作另一个等边三角形$ADE$。证明三角形$ADE$的面积与三角形$ABC$的面积之比为$3:4$。

已知

$AD$是等边三角形$ABC$的高。以$AD$为底边，作另一个等边三角形$ADE$。

要求

我们必须证明三角形$ADE$的面积与三角形$ABC$的面积之比为$3:4$。
解答
 

设$AB=BC=AC=2x$

在等边三角形中，高也是中垂线。

这意味着，

$BD=DC=x$

$\triangle ADB$是一个直角三角形。因此，根据勾股定理，

$AB^2=AD^2+BD^2$

$(2x)^2=AD^2+x^2$

$AD^2=4x^2-x^2$

$AD^2=3x^2$

$AD=\sqrt{3x^2}$

$AD=\sqrt3x$

$\triangle ABC$和$\triangle ADE$是等边三角形，因此是等角三角形。

因此，

$\triangle ABC \sim\ \triangle ADE$

我们知道，

如果两个三角形相似，则这两个三角形的面积之比与它们对应边长的平方之比成正比。

这意味着，

$\frac{ar(\triangle ADE)}{ar(\triangle ABC)}=\frac{AD^2}{BC^2}$

$=\frac{3x^2}{(2x)^2}$

$=\frac{3x^2}{4x^2}$

$=\frac{3}{4}$

证毕。

教程点

更新时间： 2022年10月10日

浏览量 107 次

开启您的职业生涯

通过完成课程获得认证

开始学习