证明在正方形的一条边上作等边三角形的面积等于在正方形的一条对角线上作等边三角形面积的一半。

已知：在正方形的一条边上作等边三角形。

要求：证明在正方形的一条边上作等边三角形的面积等于在正方形的一条对角线上作等边三角形面积的一半。

 设正方形边长为a。

 △ABC的边长 = a

△ABC的面积 = 1/2 × 边长 × 边长 × sinθ

                 = 1/2 × a × a × sin60°                (因为△ABC是等边三角形，所以θ=60°)

                                 = √3/4 a²

△AED在正方形的对角线上。

对角线 = √(a² + a²) = a√2                 (利用勾股定理)

△AED的面积 = √3/4 (a√2)²

                                   = √3/4 (2a²)

∴ △ABC面积 / △AED面积 = (√3/4 a²) / (√3/4 (2a²)) = 1/2

因此，已证明在正方形的一条边上作等边三角形的面积等于在正方形的一条对角线上作等边三角形面积的一半。