等边三角形 ABC 的面积为 $17320.5\ cm^2$。以三角形的每个顶点为圆心，作半径等于三角形边长一半的圆（见图）。求阴影部分的面积。
(使用 $\pi = 3.14$ 和 $\sqrt3= 1.73205$).
"

已知

等边三角形 ABC 的面积为 $17320.5\ cm^2$。以三角形的每个顶点为圆心，作半径等于三角形边长一半的圆。

要求

我们必须找到阴影区域的面积。

解答

等边三角形 $ABC$ 的面积 $= 17320.5\ cm^2$

设三角形 $ABC$ 的边长为 $a$

这意味着，

$\triangle ABC$ 的面积 $= \frac{\sqrt3}{4}a^2$

$\frac{\sqrt3}{4}a^2= 17320.5$

$a^{2} =\frac{17320.5 \times 4}{\sqrt{3}}$

$a^{2}=\frac{17320.5 \times 4}{1.73205}$

$a^{2}=40000$

$a=200 \mathrm{~cm}$

每个顶点所作圆的半径 $=\frac{1}{2} \text { (等边三角形的边长) }$

$=\frac{1}{2} \times 200$

$=100 \mathrm{~cm}$

每个顶点形成的扇形面积，半径为 $100 \mathrm{~cm}$，扇形角为 $60^{\circ}=3.14 \times \frac{100 \times 100 \times 60^{\circ}}{360^{\circ}}$

$=\frac{3.14 \times 100 \times 100}{6}$

$=\frac{31400}{6}$

所有 3 个扇形的面积 $=\frac{3 \times 31400}{6}$

$=15700 \mathrm{~cm}^{2}$

因此，

阴影部分的面积 $=$ 等边三角形的面积

$-$ 每个顶点形成的三个扇形的面积

$= 17320.5 - 15700$

$= 1620.5\ cm^2$

阴影区域的面积为 $1620.5\ cm^2$

教程点

更新于: 2022年10月10日

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