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法律研究如图 4 所示，一个圆内接于边长为 12cm 的等边三角形△ABC 中。求内切圆的半径和阴影部分的面积。[使用 π = 3.14 和 √3 = 1.73]。
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已知：图 4，一个边长为 12 cm 的等边三角形 ABC，以及内接于该三角形的圆。
求解：求内切圆的半径和阴影部分的面积。
解答
已知△ABC 是边长为 12 cm 的等边三角形。
∴ AB=BC=CA
连接 OA、OB 和 OC
作 OP ⊥ BC
OQ ⊥ AC
OR ⊥ AB
设圆的半径为 r cm。
OR=OP=OQ=r
在△AOB 中，
AB 为底，OR 为△AOB 的高，
∴ △AOB 的面积，A1 = 1/2 × 底 × 高
⇒ A1 = 1/2 × AB × r
⇒ A1 = 1/2 × 12 × r
⇒ A1 = 6r
类似地，△AOC 和△BOC 的面积为
A2 = 6r
A3 = 6r
△ABC 的面积 = 1/2 × sinθ × (边长)2
= 1/2 × sin60° × 12 × 12
= 1/2 × √3/2 × 144
= 36√3 cm2
△ABC 的面积 = △AOB 的面积 + △AOC 的面积 + △BOC 的面积
⇒ 6r + 6r + 6r = 36√3
⇒ 18r = 36√3
⇒ r = 36√3 / 18
⇒ r = 2√3 cm
圆的面积 = πr2
= π(2√3)2
= 12π cm2
阴影部分的面积 = △ABC 的面积 - 圆的面积
= 36√3 - 12π
= (36 × 1.73 - 12 × 3.14)
$=( 62.28-37.68)$
= 24.6 cm2
因此，阴影部分的面积为 24.6 cm2。
更新于： 2022年10月10日
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