半径为 12 厘米的圆中的一条弦在圆心处张成一个 120° 的角。求相应圆弧的面积。(使用 π = 3.14 和 √3 = 1.73)

已知

半径为 12 厘米的圆中的一条弦在圆心处张成一个 120° 的角。

要求：

我们必须找到相应圆弧的面积。

解

假设有一个以 O 为中心的圆，AB 是给定的弦，如图所示。

已知圆的半径为 r = 12 厘米

弦 AB 张成的角为∠AOB = 120°。

扇形 AOB 的面积 = θ/360° × πr²

这里 θ = 120°，r = 12 厘米

= 120°/360° × 3.14 × (12)²

= 1/3 × 3.14 × 12 × 12

= 150.72 平方厘米

扇形 AOB 的面积 = 150.72 平方厘米

△ABC 的面积 = 1/2 × OA × OB × sin120°

这里 OA = OB = 圆的半径 = 12 厘米

我们知道 sin120° = √3/2，将这些值代入公式中，

△ABC 的面积 = 1/2 × 12 × 12 × √3/2

= 36√3

= 36 × 1.73

= 62.28 平方厘米

相应圆弧的面积 = 扇形 AOB 的面积 - △AOB 的面积

$\ =150.72-62.28$

= 150.72 - 62.28 = 88.44 平方厘米

因此，相应圆弧的面积为 88.44 平方厘米。