在一个半径为 21 厘米的圆中，一条弧在圆心处所对的角为 $60^o$。求
(i) 弧长。
(ii) 该弧所形成扇形的面积。
(iii) 由相应的弦所形成弓形的面积。

已知

圆的半径 $r=21 \mathrm{~cm}$。

弧所对的角 $=60^{\circ}$

要求

我们需要求

(i) 弧长。

(ii) 该弧所形成扇形的面积。

(iii) 由相应的弦所形成弓形的面积。

解答

(i) 令弧长为 $l$。

我们知道，

弧长 $=2 \pi r(\frac{\theta}{360^{\circ}})$

因此，

弧长 $l=2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \mathrm{cm}$

$=132 \times \frac{1}{6} \mathrm{cm}$

$=22 \mathrm{cm}$

弧长为 $22 \mathrm{~cm}$。 

(ii) 我们知道，

扇形面积 $=\pi r^{2} \times \frac{\theta}{360^{\circ}}$

因此，

该弧所形成扇形的面积$=\frac{22}{7}(21)^{2} \times \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}$

$=\frac{22}{7} \times 21 \times 21 \times \frac{1}{6}$

$=231 \mathrm{~cm}^{2}$

扇形面积为 $231 \mathrm{~cm}^{2}$。  

(iii) 由相应的弦所形成弓形的面积 = 扇形面积 - 弦与圆半径之间形成的三角形的面积

$=231-(\frac{1}{2} r^{2} \sin \theta)$

$=231-\frac{1}{2} \times(21)^{2} \times \sin 60^{\circ}$

$=231-\frac{1}{2} \times 441 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

$=231-\frac{441 \sqrt{3}}{4}$

$=231-190.95$

$=40.05 \mathrm{~cm}^{2}$

由相应的弦所形成弓形的面积为 $40.05 \mathrm{~cm}^{2}$。

教程点

更新于: 2022年10月10日

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