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法律研究一个半径为 14 厘米的圆的弦在圆心处张成一个 120° 的角。求该圆对应劣弧段的面积。$\left( 使用\ \pi =\frac{22}{7} \ 和\ \sqrt{3} =1.73\right) \ $
已知：一个半径为 14 厘米的圆，以及一条张成 $120^{o}$ 角的弦。
求解：求出该圆的劣弧段的面积。
解答：假设有一个圆心为 O 的圆，AB 是给定的弦，如图所示。
已知给定圆的半径，$r=14\ cm$
弦 AB 张成的角，$\angle AOB=120^{o}$。
首先我们求出扇形 $AOB$ 的面积，然后求出三角形 $\vartriangle AOB$ 的面积。
扇形 $AOB$ 的面积 $=\frac{\theta }{360^{o}} \pi r^{2}$
这里 $\theta=120^{o}$ 和$\ r=14\ cm$
$=\frac{120^{o}}{360^{o}} \times \frac{22}{7} \times ( 14)^{2}$
$=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 14\times 14$
$=\frac{616}{3} \ cm^{2}$
扇形 $AOB$ 的面积 $=205.33\ cm^{2}$
$\vartriangle ABC$ 的面积 $=\frac{1}{2} \times OA\times OB\times sin120^{o}$
这里 $OA=OB=$给定圆的半径$=14\ cm$
并且我们知道 $sin120^{o} =\frac{\sqrt{3}}{2}$，将这些值代入公式，
$\vartriangle ABC$ 的面积 $=\frac{1}{2} \times 14\times 14\times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$=49\sqrt{3}$
$=49\times 1.73$
$=84.77\ cm^{2}$
圆的劣弧段的面积 $=$扇形 AOB 的面积$-$$\vartriangle AOB$ 的面积
$\ =205.33-84.77$
$=120.56\ cm^{2}$
因此，劣弧段的面积为 $120.56\ cm^{3}$。
更新于： 2022 年 10 月 10 日
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