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一个半径为 14 厘米的圆的弦在圆心处张成一个 120° 的角。求该圆对应劣弧段的面积。 $\left( 使用\ \pi =\frac{22}{7} \ 和\ \sqrt{3} =1.73\right) \$

学术数学 NCERT 10 年级

已知：一个半径为 14 厘米的圆，以及一条张成

$120^{o}$ 角的弦。

求解：求出该圆的劣弧段的面积。

解答：假设有一个圆心为 O 的圆，AB 是给定的弦，如图所示。

已知给定圆的半径，

$r=14\ cm$

弦 AB 张成的角，

$\angle AOB=120^{o}$ 。

首先我们求出扇形

$AOB$ 的面积，然后求出三角形

$\vartriangle AOB$ 的面积。

扇形

$AOB$ 的面积

$=\frac{\theta }{360^{o}} \pi r^{2}$

这里

$\theta=120^{o}$ 和

$\ r=14\ cm$

$=\frac{120^{o}}{360^{o}} \times \frac{22}{7} \times ( 14)^{2}$

$=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 14\times 14$

$=\frac{616}{3} \ cm^{2}$

扇形

$AOB$ 的面积

$=205.33\ cm^{2}$

$\vartriangle ABC$ 的面积

$=\frac{1}{2} \times OA\times OB\times sin120^{o}$

这里

$OA=OB=$ 给定圆的半径

$=14\ cm$

并且我们知道

$sin120^{o} =\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，将这些值代入公式，

$\vartriangle ABC$ 的面积

$=\frac{1}{2} \times 14\times 14\times \frac{\sqrt{3}}{2}$

$=49\sqrt{3}$

$=49\times 1.73$

$=84.77\ cm^{2}$

圆的劣弧段的面积

$=$ 扇形 AOB 的面积

$-$

$\vartriangle AOB$ 的面积

$\ =205.33-84.77$

$=120.56\ cm^{2}$

因此，劣弧段的面积为 $120.56\ cm^{3}$ 。

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更新于： 2022 年 10 月 10 日

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