一个圆内接于边长为12厘米的等边三角形ABC，并与三角形的边相切。求内切圆的半径和阴影部分的面积。

已知

一个圆内接于边长为12厘米的等边三角形ABC，并与它的边相切。

要求：

我们必须求出内切圆的半径和阴影部分的面积。

解答

等边三角形ABC的每条边的长度 (a) = 12厘米

这意味着：

等边三角形的面积 = $\frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$

=$\frac{\sqrt{3}}{4}(12)^{2}$

=$\frac{1.732 \times 12 \times 12}{4}$

=62.352 平方厘米

作AD⊥BC。

这意味着：

OD=$\frac{1}{3}$ (AD) [因为O是等边三角形的重心]

=$\frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times 12$

=$\frac{\sqrt{3}}{6} \times 12$

=2√3

内切圆的半径r=OD

=2√3 厘米

内切圆的面积 = πr²

=$\frac{22}{7} \times(2 \sqrt{3})^{2}$

=$\frac{22}{7} \times 12$

=$\frac{264}{7}$

=37.714 平方厘米

因此：

阴影部分的面积 = 62.352 - 37.714

=24.638 平方厘米

内切圆的半径是2√3厘米，阴影部分的面积是24.638平方厘米。

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更新于：2022年10月10日

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