在一个半径为 32 厘米的圆形桌布上，形成了一个设计，中间留有一个等边三角形 ABC。求设计的面积（阴影区域）。
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已知

在一个半径为 32 厘米的圆形桌布上，形成了一个设计，中间留有一个等边三角形 ABC。

要求

我们需要求出设计的面积。

解答

圆的半径 $r=32 \mathrm{~cm}$

设 $AD$ 为 $\triangle A B C$ 的中线，$O$ 为圆心。

$AO=\frac{2}{3}AD$

$32=\frac{2}{3}AD$

这意味着，

$A D=48 \mathrm{~cm}$

在 $\triangle ABD$ 中，

$A B^{2}=A D^{2}+BD^{2}$

$A B^{2}=(48)^{2}+(\frac{A B}{2})^{2}$

$(AB)^2-\frac{A B^{2}}{4}=(48)^{2}$

$\frac{3AB^2}{4}=48\times48$

$AB=\frac{48 \times 2}{\sqrt{3}}$

$=\frac{96}{\sqrt{3}}$

$=32 \sqrt{3}\ cm$

等边三角形 $\triangle ABC$ 的面积 $=\frac{\sqrt{3}}{4}(32 \sqrt{3})^{2}$

$=\frac{\sqrt{3}}{4} \times 32 \times 32 \times 3$

$=768 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}$

圆的面积 $=\pi r^{2}$

$=\frac{22}{7} \times(32)^{2}$

$=\frac{22}{7} \times 1024$

$=\frac{22528}{7} \mathrm{~cm}^{2}$

设计的面积 $=$ 圆的面积 $-$ $\triangle A B C$ 的面积

$=(\frac{22528}{7}-768 \sqrt{3}) \mathrm{cm}^{2}$

教程点

更新时间: 2022年10月10日

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