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法律研究平行四边形$ABCD$。$E$是$BA$上的一点，使得$BE = 2EA$，$F$是$DC$上的一点，使得$DF = 2FC$。证明$AECF$是平行四边形，且其面积是平行四边形$ABCD$面积的三分之一。
已知
$ABCD$是平行四边形。$E$是$BA$上的一点，使得$BE = 2EA$，$F$是$DC$上的一点，使得$DF = 2FC$。
要求
我们必须证明$AECF$是平行四边形，且其面积是平行四边形$ABCD$面积的三分之一。
解答
连接$AE$和$CE$。
在平行四边形$\mathrm{ABCD}$中，
$\mathrm{AE}=2 \mathrm{EB}$且$\mathrm{DF}=2 \mathrm{FC}$
$\Rightarrow \mathrm{AE}=\frac{1}{3} \mathrm{AB}$
$\mathrm{CF}=\frac{1}{3} \mathrm{CD}$
$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}$ (平行四边形的对边)
这意味着，
$\mathrm{AE}=\mathrm{FC}$
$\mathrm{AB} \| \mathrm{CD}$
因此，$AECF$是平行四边形。
平行四边形$\mathrm{ABCD}$和平行四边形$AECF$有相同的高，且$\mathrm{AE}=\frac{1}{3} \mathrm{AB}$
平行四边形$\mathrm{AECF}$的面积$=\mathrm{AE} \times \text { 高度 }$
$=\frac{1}{3} \mathrm{AB} \times \text { 高度 }$
$=\frac{1}{3} \text{平行四边形}\mathrm{ABCD} \text{的面积}$。
证毕。
更新于: 2022年10月10日
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