平行四边形$ABCD$。$E$是$BA$上的一点，使得$BE = 2EA$，$F$是$DC$上的一点，使得$DF = 2FC$。证明$AECF$是平行四边形，且其面积是平行四边形$ABCD$面积的三分之一。

已知

$ABCD$是平行四边形。$E$是$BA$上的一点，使得$BE = 2EA$，$F$是$DC$上的一点，使得$DF = 2FC$。

要求

我们必须证明$AECF$是平行四边形，且其面积是平行四边形$ABCD$面积的三分之一。

解答

连接$AE$和$CE$。

在平行四边形$\mathrm{ABCD}$中，

$\mathrm{AE}=2 \mathrm{EB}$且$\mathrm{DF}=2 \mathrm{FC}$

$\Rightarrow \mathrm{AE}=\frac{1}{3} \mathrm{AB}$

$\mathrm{CF}=\frac{1}{3} \mathrm{CD}$

$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}$                  (平行四边形的对边)

这意味着，

$\mathrm{AE}=\mathrm{FC}$

$\mathrm{AB} \| \mathrm{CD}$

因此，$AECF$是平行四边形。

平行四边形$\mathrm{ABCD}$和平行四边形$AECF$有相同的高，且$\mathrm{AE}=\frac{1}{3} \mathrm{AB}$

平行四边形$\mathrm{AECF}$的面积$=\mathrm{AE} \times \text { 高度 }$

$=\frac{1}{3} \mathrm{AB} \times \text { 高度 }$

$=\frac{1}{3} \text{平行四边形}\mathrm{ABCD} \text{的面积}$。

证毕。

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更新于: 2022年10月10日

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