平行四边形$ABCD$中，$BC$延长到$E$，使得$CE = BC$。$AE$与$CD$交于$F$。如果$\triangle DFB$的面积为$3\ cm^2$，求平行四边形$ABCD$的面积。

已知

$ABCD$是一个平行四边形，其中$BC$延长到$E$，使得$CE = BC$。$AE$与$CD$交于$F$。

要求

我们必须找到平行四边形$ABCD$的面积。

解答

在$\triangle \mathrm{ADF}$和$\triangle \mathrm{ECF}$中，

$\mathrm{AD}=\mathrm{CE}$

$\angle \mathrm{AFD}=\angle \mathrm{CFE}$         (对顶角)

因此，根据AAS公理，

$\triangle \mathrm{ADF} \cong \Delta \mathrm{ECF}$

这意味着，

$\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ADF})=a r(\Delta \mathrm{CEF})$

$\mathrm{AF}=\mathrm{CF}$            (全等对应边)

$\mathrm{AF}=\mathrm{EF}$              (全等对应边)

$\mathrm{BF}$是$\triangle \mathrm{BCD}$的中线。

这意味着，

$\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{BFD})=\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{BFC})$

$=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta \mathrm{BCD})$

$=\frac{1}{2}[\frac{1}{2} a r(平行四边形 \mathrm{ABCD})]$      ($\mathrm{BD}$是平行四边形的对角线)

$=\frac{1}{4} a r(平行四边形 \mathrm{ABCD})$

$operatorname{ar}(\triangle \mathrm{BFD})=3 \mathrm{~cm}^{2}$

因此，

平行四边形$\mathrm{ABCD}$的面积$=4 \times \operatorname{ar}(\Delta \mathrm{BFD})$

$=4 \times 3$

$=12 \mathrm{~cm}^{2}$. 

教程点

更新于: 2022年10月10日

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