平行四边形$ABCD$中，延长$AD$到$E$，使得$DE = DC = AD$，延长$EC$交$AB$的延长线于$F$。证明$BF = BC$。

已知

平行四边形$ABCD$中，延长$AD$到$E$，使得$DE = DC = AD$，延长$EC$交$AB$的延长线于$F$。

求证

我们必须证明$BF = BC$。

解答

根据图形：

在$\triangle ACE$中：

$O$和$D$分别是$AC$和$AE$的中点。

这意味着：

$DO \parallel EC$ 且 $OD \parallel FC$

$BD \parallel EF$

因此：

$AB = BF$

$AB = DC$ (平行四边形的对边相等)

这意味着：

$DC = BF$

在$\triangle EDC$和$\triangle CBF$中：

$DC = BF$

$\angle EDC = \angle CBF$ ($\angle EDC = \angle DAB$，$\angle DAB = \angle CBF$ 为同位角)

$\angle ECD = \angle CFB$ (同位角)

因此，根据ASA公理：

$\triangle EDC \cong \triangle CBF$

这意味着：

$DE = BC$ (全等三角形对应边相等)

$DC = BC$

$AB = BC$

$BF = BC$ (因为$AB = BF$)

证毕。

教程点

更新于：2022年10月10日

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