已知$ABCD$是一个菱形，$EABF$是一条直线，且$EA = AB = BF$。证明：$ED$和$FC$延长后相交于直角。

已知

$ABCD$是一个菱形，$EABF$是一条直线，且$EA = AB = BF$。

要求

我们必须证明$ED$和$FC$延长后相交于直角。

解答

设$ED$和$FC$延长后相交于点$G$。

我们知道，

菱形的对角线互相垂直平分。

这意味着，

$\angle AOD = \angle COD =\angle AOB =\angle BOC = 90^o$

$AO = OC, BO = OD$

在$\triangle BDE$中，

$A$和$O$分别是$BE$和$BD$的中点。

这意味着，

$AO \parallel ED$

类似地，

$OC \parallel DG$

在$\triangle CFA$中，$B$和$O$分别是$AF$和$AC$的中点。

因此，

$OB \parallel CF$和$OD \parallel GC$

在四边形$DOCG$中，

$OC \parallel DG$和$OD \parallel CG$

这意味着，

$DOCG$是一个平行四边形。

因此，

$\angle DGC = \angle DOC$                (平行四边形的对角相等)

这意味着，

$\angle DGC = 90^o$

证毕。

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更新于： 2022年10月10日

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