证明如果四边形的对角线互相垂直平分，则它是菱形。

已知

四边形的对角线互相垂直平分。

需要做

我们需要证明它是一个菱形。

解答：

设四边形 $ABCD$ 的对角线互相垂直平分。

所以，

$OA=OC, OB=OD$

$\angle AOB = \angle BOC =\angle COD =\angle AOD = 90^o$

为了证明它是一个菱形，我们需要证明 $ABCD$ 是一个平行四边形，并且 $AB = BC = CD = AD$

在 $\triangle AOB$ 和 $\triangle BOC$ 中，

$OA=OC$         (已知)

$OB=OB$         (公共边)

$\angle AOB= \angle BOC$ ($90^o$)

因此，根据 SAS 全等，我们得到，

$\triangle AOB \cong \triangle BOC$

所以，$AB=BC$           (全等三角形对应边相等)

类似地，

$\triangle AOB \cong \triangle AOD$

所以，$AB=AD$

$\triangle COD \cong \triangle BOC$

所以，$CD=BC$

因此，

$AB=BC=CD=AD$

我们可以说，

$AB=CD$ 和 $BC=AD$

由于对边相等，$ABCD$ 是一个平行四边形。

我们知道，对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形。

因此，$ABCD$ 是一个四边相等且对角线互相垂直平分的平行四边形。

所以，$ABCD$ 是一个菱形。

证毕。

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更新于: 2022年10月10日

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