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法律研究证明如果四边形的对角线相等且互相垂直平分，则该四边形是正方形。
已知
四边形的对角线相等且互相垂直平分。
要求
我们需要证明它是正方形。
解答：
设 $ABCD$ 为一个四边形，其中对角线相等且互相垂直平分。
因此，$AC=BD$
$OA=OC, OB=OD$
$\angle AOB = \angle BOC =\angle COD =\angle AOD = 90^o$
为了证明它是一个正方形，我们需要证明该四边形是平行四边形且其中一个角为 $90^o$。
在 $\triangle AOB$ 和 $\triangle BOC$ 中，
$OA=OC$ (已知)
$OB=OB$ (公共边)
$\angle AOB= \angle BOC$ ($90^o$)
因此，
$\triangle AOB \cong \triangle BOC$
所以，$AB=BC$
类似地，
$\triangle AOB \cong \triangle AOD$
所以，$AB=AD$
$\triangle COD \cong \triangle BOC$
所以，$CD=BC$
因此，
$AB=BC=CD=AD$
我们可以说，
$AB=CD$ 且 $BC=AD$
由于对边相等，因此 $ABCD$ 是平行四边形。
在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle BCD$ 中，
$AB=CD$ (平行四边形的对边)
$BC=BC$ (公共边)
$AC=BD$ (对角线相等)
因此，
$\triangle ABC \cong \triangle BCD$
所以，$\angle B= \angle C$
我们知道平行四边形的邻角互补。
$\angle B + \angle C = 180^o$
$\angle B= \angle B = 180^o$
$2 \angle B= 180^o$
$\angle B = \frac{180^o}{2}$
$\angle B =90^o$
因此，$ABCD$ 是一个所有边都相等且有一个角为 $90^o$ 的平行四边形。
所以，$ABCD$ 是一个正方形。
证毕。
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