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法律研究证明正方形的对角线相等，并且互相垂直平分。
待办事项
我们需要证明正方形的对角线相等，并且互相垂直平分。
解答：
设 $ABCD$ 为一个正方形，其中对角线 $AC$ 和 $BD$ 在 $O$ 点相交。
在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle BAD$ 中，
$AB=AB$ (公共边)
$BC=AD$ (正方形的所有边都相等)
$\angle ABC= \angle BAD=90^o$
因此，根据 SAS 全等，我们得到，
$\triangle ABC \cong \triangle BAD$
所以，$AC=BD$ (全等三角形对应边相等)
对角线相等。
在 $\triangle AOB$ 和 $\triangle COD$ 中，
$\angle BAO = \angle DCO$ (内错角相等)
$\angle AOB = \angle COD$ (对顶角相等)
$AB = CD$
因此，根据 AAS 全等，我们得到，
$\triangle AOB \cong \triangle COD$
所以，
$AO = CO$ (全等三角形对应边相等)
这意味着，
对角线互相平分。
在 $\triangle AOB$ 和 $\triangle COB$ 中，
$OB = OB$ (公共边)
$AO = CO$ (对角线互相平分)
$AB = BC$ (正方形的边相等)
因此，根据 SSS 全等，我们得到，
$\triangle AOB \cong \triangle COB$
这意味着，
$\angle AOB = \angle COB$
$\angle AOB+\angle COB = 180^o$ (邻补角)
这意味着，
$\angle AOB+\angle AOB =180^o$
$\angle AOB=\frac{180^o}{2}$
$\angle AOB=90^o$
$\angle COB =\angle AOB= 90^o$
对角线相等，并且互相垂直平分。
因此，
正方形的对角线相等，并且互相垂直平分。
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