证明正方形的对角线相等，并且互相垂直平分。

待办事项

我们需要证明正方形的对角线相等，并且互相垂直平分。

解答： 

设 $ABCD$ 为一个正方形，其中对角线 $AC$ 和 $BD$ 在 $O$ 点相交。

在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle BAD$ 中，

$AB=AB$        (公共边)

$BC=AD$        (正方形的所有边都相等)

$\angle ABC= \angle BAD=90^o$

因此，根据 SAS 全等，我们得到，

$\triangle ABC \cong \triangle BAD$

所以，$AC=BD$        (全等三角形对应边相等)

对角线相等。

在 $\triangle AOB$ 和 $\triangle COD$ 中，

$\angle BAO = \angle DCO$          (内错角相等)

$\angle AOB = \angle COD$             (对顶角相等)

$AB = CD$

因此，根据 AAS 全等，我们得到，

$\triangle AOB \cong \triangle COD$

所以，

$AO = CO$         (全等三角形对应边相等)

这意味着，

对角线互相平分。

在 $\triangle AOB$ 和 $\triangle COB$ 中，

$OB = OB$          (公共边)

$AO = CO$     (对角线互相平分)

$AB = BC$    (正方形的边相等)

因此，根据 SSS 全等，我们得到，

$\triangle AOB \cong \triangle COB$

这意味着，

$\angle AOB = \angle COB$

$\angle AOB+\angle COB = 180^o$         (邻补角)

这意味着，

$\angle AOB+\angle AOB =180^o$

$\angle AOB=\frac{180^o}{2}$

$\angle AOB=90^o$

$\angle COB =\angle AOB= 90^o$

对角线相等，并且互相垂直平分。

因此，

正方形的对角线相等，并且互相垂直平分。

教程点

更新于: 2022年10月10日

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