四边形 $ABCD$ 的对角线在点 $O$ 处相交，使得 $\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}$。证明 $ABCD$ 是梯形。

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已知

四边形 $ABCD$ 的对角线在点 $O$ 处相交，使得 $\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}$。

要求

我们必须证明 $ABCD$ 是梯形。

解答

过点 $O$ 作 $EF \| AB$

$\frac{AO}{BO}=\frac{OC}{OD}$

这意味着，

$\frac{AO}{CO}=\frac{BO}{DO}$........(i)

在 $\triangle BAD$ 中，$EO \| AB$

这意味着，根据基本比例定理，

$\frac{DE}{EA}=\frac{DO}{BO}$

$\frac{AE}{ED}=\frac{BO}{DO}$...........(ii)

由 (i) 和 (ii)，我们得到，

$\frac{AO}{CO}=\frac{AE}{ED}$

这意味着，根据基本比例定理的逆定理，

$OE \| CD$

$AB \| OE$

这意味着，

$AB \| CD$

因此，

$ABCD$ 是梯形

证毕。