在四边形 $ABCD$ 中，$CO$ 和 $DO$ 分别是 $\angle C$ 和 $\angle D$ 的角平分线。证明 $\angle COD = \frac{1}{2}(\angle A + \angle B)$。

已知

在四边形 $ABCD$ 中，$CO$ 和 $DO$ 分别是 $\angle C$ 和 $\angle D$ 的角平分线。

要求

我们必须证明 $\angle COD = \frac{1}{2}(\angle A + \angle B)$。

解答

在 $\Delta COD$ 中，

$\angle \mathrm{DCO}+\angle \mathrm{CDO}+\angle \mathrm{COD}=180^{\circ}$           (三角形内角和为 $180^o$)

这意味着，

$\frac{1}{2} \angle C+\frac{1}{2} \angle D+\angle COD=180^{\circ}$

$\angle COD=180^{\circ}-(\frac{1}{2} \angle C+\frac{1}{2} \angle D)$

$\angle COD =180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle C+\angle D)$

在四边形 $ABCD$ 中，

$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ}$

$\angle C+\angle D=360^{\circ}-(\angle A+\angle B)$

$\angle COD=180^{\circ}-\frac{1}{2}[360^{\circ}-\angle A+\angle B]$

$\angle COD =180^{\circ}-180^{\circ}+\frac{1}{2}(\angle A+\angle B)$

$\angle COD =\frac{1}{2}(\angle A+\angle B)$

证毕。

教程点

更新于: 2022年10月10日

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