证明外切于圆的平行四边形是菱形。

已知：一个外切于圆的平行四边形。

要求：证明外切于圆的平行四边形是菱形。

解答

$\because$ 已知平行四边形 ABCD 外切于圆，其边与圆相切于点 P、Q、R 和 S。

$\therefore \ $AP 和 AS 是从外点 A 引出的圆的切线。

BP 和 BQ 是从外点 B 引出的圆的切线。

CQ 和 CR 是从外点 C 引出的圆的切线。

DR 和 DS 是从外点 D 引出的圆的切线。

我们知道，从圆外一点引出的圆的切线长度总是相等的。

$\therefore \ AP=AS\ \dotsc \dotsc \dotsc \dotsc .( 1)$

$BP=BQ\dotsc \dotsc \dotsc \dotsc \dotsc \dotsc ( 2)$

$CQ=CR\dotsc \dotsc \dotsc \dotsc \dotsc \dotsc \dotsc .( 3)$

$DR=DS\dotsc \dotsc \dotsc \dotsc \dotsc \dotsc .\dotsc ( 4)$

$让我们将 ( 1) 、( 2) 、( 3) 和 ( 4) 相加$

$AP+BP+CR+DR=AS+BQ+CQ+DS$

$\Rightarrow ( AP+BP) +( CR+DR) =( AS+DS) +( BQ+CQ)$ 

$( \because AP+BP=AB,\ CR+DR=CD,\ AS+DS=AD\ And\ BQ+CQ=BC)$

 

$\Rightarrow AB+CD=AD+BC$ 

$\Rightarrow AB+AB=BC+BC\ $ $( \because \ ABCD\ 是一个平行四边形. AB=CD\ and\ BC=AD\ )$

$\Rightarrow 2AB=2BC$

因此 $AB=BC=CD=AD$

这证明了给定的平行四边形是菱形。