如果平行四边形的各边都与一个圆相切，证明该平行四边形是菱形。

已知：一个平行四边形，其所有边都与一个圆相切。

要求：证明该平行四边形是菱形。

这里我们画一个外切于圆的平行四边形PQRS，其所有边都与圆相切于点A、B、C和D。

因为它是平行四边形

$PS=QR$ 且 $PQ=RS$

我们知道，从同一点引出的圆的切线长度总是相等的。

$PB=PA$

$QD=QA$

$RD=RC$

$SC=SB$

将以上四个等式相加

$PB+QD+RD+SC=PA+QA+RC+SB$

$(QD+RD)+(PB+SC)=(PA+QA)+(RC+SB)$

$QR+(PB+SC)=PQ+(RC+SC)$                                     $(已知SB=SC)$

$QR+PS=PQ+RS$                                             $(PB+SB=PS 且 RC+SC=RS)$

$QR+QR=PQ+PQ$                                      $(因为 PS=QR 且 PQ=RS)$

$2QR=2PQ$

$\Rightarrow PQ=QR=RS=SP$

$\therefore$ 平行四边形PQRS是菱形。