已知梯形$\mathrm{ABCD}$中，$\mathrm{AB} \| \mathrm{DC}$，$\mathrm{BD}$为对角线，$\mathrm{E}$为$\mathrm{AD}$的中点。过E作一条平行于$\mathrm{AB}$的直线，交$\mathrm{BC}$于$\mathrm{F}$（见下图）。求证：$\mathrm{F}$是$\mathrm{BC}$的中点。

已知

梯形$\mathrm{ABCD}$中，$\mathrm{AB} \| \mathrm{DC}$，$\mathrm{BD}$为对角线，$\mathrm{E}$为$\mathrm{AD}$的中点。

过E作一条平行于$\mathrm{AB}$的直线，交$\mathrm{BC}$于$\mathrm{F}$

证明：
我们需要证明$\mathrm{F}$是$\mathrm{BC}$的中点。

 解答

设$BD$与$EF$的交点为$P$。

在$\triangle ABD$中，

$EP \| AB$

$E$是$AD$的中点。

我们知道：

三角形一条边上的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。

因此：

$P$是$BD$的中点。

在$\triangle BCD$中，

$PF \| CD$

$P$是$BD$的中点。

根据中点定理的逆定理：

$F$是$CB$的中点。

证毕。

教程点

更新于：2022年10月10日

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