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法律研究在平行四边形\( \mathrm{ABCD} \)中，\( \mathrm{E} \)和\( \mathrm{F} \)分别是边\( \mathrm{AB} \)和\( \mathrm{CD} \)的中点（见下图）。证明线段AF和\( \mathrm{EC} \)三等分对角线BD。
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已知
在平行四边形\( \mathrm{ABCD} \)中，\( \mathrm{E} \)和\( \mathrm{F} \)分别是边\( \mathrm{AB} \)和\( \mathrm{CD} \)的中点。
需要证明：
我们需要证明线段$AF$和\( \mathrm{EC} \)三等分对角线$BD$。
解答
$A B C D$是一个平行四边形。
我们知道，
平行四边形的对边相等且平行。
这意味着，
$A B \| D C$
$A B=D C$
$\Rightarrow A E \| F C$
$\frac{1}{2} A B=\frac{1}{2} D C$
$\Rightarrow \mathrm{AE} \| \mathrm{FC}$
$\mathrm{AE}=\mathrm{FC}$
因此，
$AECF$是一个平行四边形。
这意味着，
$\mathrm{AF} \| \mathrm{EC}$
$\Rightarrow \mathrm{EQ} \| \mathrm{AP}$ 且 $\mathrm{FP} \| \mathrm{CQ}$
在$\triangle B A P$中，
$E$是$A B$的中点，且$E Q \| A P$。
根据中点定理的逆定理，
$Q$是$B P$的中点。
这意味着，
$\mathrm{BQ}=\mathrm{PQ}$...........(i)
在$\triangle D Q C$中，
$F$是$D C$的中点
$F P \| C Q$
根据中点定理的逆定理，
$P$是$D Q$的中点。
因此，
$\mathrm{PQ}=\mathrm{DP}$........(ii)
由(i)和(ii)可得，
$B Q=P Q=P D$
因此，$CE$和$AF$三等分对角线$BD$。
更新于： 2022年10月10日
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