在平行四边形ABCD中,E和F分别是边AB和CD的中点(见下图)。证明线段AF和EC三等分对角线BD。
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已知
在平行四边形ABCD中,E和F分别是边AB和CD的中点。
需要证明:
我们需要证明线段AF和EC三等分对角线BD。
解答
ABCD是一个平行四边形。
我们知道,
平行四边形的对边相等且平行。
这意味着,
AB‖
A B=D C
\Rightarrow A E \| F C
\frac{1}{2} A B=\frac{1}{2} D C
\Rightarrow \mathrm{AE} \| \mathrm{FC}
\mathrm{AE}=\mathrm{FC}
因此,
AECF是一个平行四边形。
这意味着,
\mathrm{AF} \| \mathrm{EC}
\Rightarrow \mathrm{EQ} \| \mathrm{AP} 且 \mathrm{FP} \| \mathrm{CQ}
在\triangle B A P中,
E是A B的中点,且E Q \| A P。
根据中点定理的逆定理,
Q是B P的中点。
这意味着,
\mathrm{BQ}=\mathrm{PQ}...........(i)
在\triangle D Q C中,
F是D C的中点
F P \| C Q
根据中点定理的逆定理,
P是D Q的中点。
因此,
\mathrm{PQ}=\mathrm{DP}........(ii)
由(i)和(ii)可得,
B Q=P Q=P D
因此,CE和AF三等分对角线BD。
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