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在平行四边形ABCD中,EF分别是边ABCD的中点(见下图)。证明线段AF和EC三等分对角线BD。
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已知

在平行四边形ABCD中,EF分别是边ABCD的中点。

需要证明:
我们需要证明线段AFEC三等分对角线BD

解答

ABCD是一个平行四边形。

我们知道,

平行四边形的对边相等且平行。

这意味着,

AB

A B=D C

\Rightarrow A E \| F C

\frac{1}{2} A B=\frac{1}{2} D C

\Rightarrow \mathrm{AE} \| \mathrm{FC}

\mathrm{AE}=\mathrm{FC}

因此,

AECF是一个平行四边形。

这意味着,

\mathrm{AF} \| \mathrm{EC}

\Rightarrow \mathrm{EQ} \| \mathrm{AP}\mathrm{FP} \| \mathrm{CQ}

\triangle B A P中,

EA B的中点,且E Q \| A P

根据中点定理的逆定理,

QB P的中点。

这意味着,

\mathrm{BQ}=\mathrm{PQ}...........(i)

\triangle D Q C中,

FD C的中点

F P \| C Q

根据中点定理的逆定理,

PD Q的中点。

因此,

\mathrm{PQ}=\mathrm{DP}........(ii)

由(i)和(ii)可得,

B Q=P Q=P D

因此,CEAF三等分对角线BD

更新于: 2022年10月10日

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