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法律研究在下图中，\( l \| \mathrm{m} \) 且线段\( \mathrm{AB}, \mathrm{CD} \) 和 \( \mathrm{EF} \) 在点 \( \mathrm{P} \) 处共点。
证明 \( \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{BF}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BD}}=\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{FD}} \)。
"
已知
\( l \| \mathrm{m} \) 且线段\( \mathrm{AB}, \mathrm{CD} \) 和 \( \mathrm{EF} \) 在点 \( \mathrm{P} \) 处共点。
要求
我们需要证明 \( \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{BF}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BD}}=\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{FD}} \)。
解答
在 $\triangle A P C$ 和 $\triangle B P D$ 中
$\angle A P C=\angle B P D$ (对顶角)
$\angle P A C=\angle P B D$ (内错角)
因此，根据 AA 相似性，
$\triangle A P C \sim \triangle B P D$
这意味着，
$\frac{A P}{P B}=\frac{A C}{B D}=\frac{P C}{P D}$..........(i)
在 $\triangle A P E$ 和 $\triangle B P F$ 中
$\angle A P E=\angle B P F$ (对顶角)
$\angle P A E=\angle P B F$ (内错角)
因此，根据 AA 相似性，
$\triangle A P E \sim \triangle B P F$
这意味着，
$\frac{A P}{P B}=\frac{A E}{B F}=\frac{P E}{P F}$........(ii)
在 $\triangle P E C$ 和 $\triangle P F D$ 中
$\angle E P C=\angle F P D$ (对顶角)
$\angle P C E =\angle P D F$ (内错角)
因此，根据 AA 相似性，
$\triangle P E C \sim \triangle P F D$
这意味着，
$\frac{P E}{P F} =\frac{P C}{P D}=\frac{E C}{F D}$........(iii)
从 (i)、(ii) 和 (iii) 中，我们得到，
$\frac{A P}{P B}=\frac{A C}{B D}=\frac{A E}{B F}=\frac{P E}{P F}=\frac{E C}{F D}$
$\frac{A E}{B F}=\frac{A C}{B D}=\frac{C E}{F D}$
证毕。
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