在下图中，$l \| \mathrm{m}$ 且线段$\mathrm{AB}, \mathrm{CD}$ 和 $\mathrm{EF}$ 在点 $\mathrm{P}$ 处共点。
证明 $\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{BF}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BD}}=\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{FD}}$。
"

已知

$l \| \mathrm{m}$ 且线段$\mathrm{AB}, \mathrm{CD}$ 和 $\mathrm{EF}$ 在点 $\mathrm{P}$ 处共点。

要求

我们需要证明 $\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{BF}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BD}}=\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{FD}}$。

解答

在 $\triangle A P C$ 和 $\triangle B P D$ 中

$\angle A P C=\angle B P D$             (对顶角)

$\angle P A C=\angle P B D$                  (内错角)

因此，根据 AA 相似性，

$\triangle A P C \sim \triangle B P D$

这意味着，

$\frac{A P}{P B}=\frac{A C}{B D}=\frac{P C}{P D}$..........(i)

在 $\triangle A P E$ 和 $\triangle B P F$ 中

$\angle A P E=\angle B P F$          (对顶角)

$\angle P A E=\angle P B F$            (内错角)

因此，根据 AA 相似性，

$\triangle A P E  \sim \triangle B P F$

这意味着，

$\frac{A P}{P B}=\frac{A E}{B F}=\frac{P E}{P F}$........(ii)

在 $\triangle P E C$ 和 $\triangle P F D$ 中

$\angle E P C=\angle F P D$              (对顶角)

$\angle P C E =\angle P D F$                (内错角)

因此，根据 AA 相似性，

$\triangle P E C \sim \triangle P F D$

这意味着，

$\frac{P E}{P F} =\frac{P C}{P D}=\frac{E C}{F D}$........(iii)

从 (i)、(ii) 和 (iii) 中，我们得到，

$\frac{A P}{P B}=\frac{A C}{B D}=\frac{A E}{B F}=\frac{P E}{P F}=\frac{E C}{F D}$

$\frac{A E}{B F}=\frac{A C}{B D}=\frac{C E}{F D}$

证毕。

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更新于: 2022年10月10日

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