在$\triangle A B C$中，$\angle A$为钝角，$P B \perp A C$且$Q C \perp A B$。证明$B C^{2}=\left(A C \times C P +A B \times B Q\right)$。

已知

在$\triangle A B C$中，$\angle A$为钝角，$P B \perp A C$且$Q C \perp A B$。

要求

我们需要证明$B C^{2}=\left(A C \times C P +A B \times B Q\right)$。
解答
 

在$\triangle BPA$中，根据勾股定理，

$AB^2=BP^2+PA^2$ 

$BP^2=AB^2-PA^2$......(i)

在$\triangle BPC$中，根据勾股定理，

$BC^2=AB^2-PA^2+(PA+AC)^2$

$BC^2=AB^2-PA^2+PA^2+AC^2+2PA\times AC$

$BC^2=AB^2+AC^2+2PA\times AC$.....(ii)

在$\triangle ACQ$中，根据勾股定理，

$AC^2=AQ^2+QC^2$ 

$QC^2=AC^2-AQ^2$......(iii)

在$\triangle BCQ$中，根据勾股定理，

$BC^2=BQ^2+QC^2$ 

$BC^2=(BA+AQ)^2+AC^2-AQ^2$

$BC^2=AB^2+AQ^2+2AB\times AQ+AC^2-AQ^2$

$BC^2=AB^2+AC^2+2AB\times AQ$.....(iv)

将方程(ii)和(iv)相加，得到，

$BC^2+BC^2=AB^2+AC^2+2PA\times AC+AB^2+AC^2+2AB\times AQ$

$2BC^2=2AB^2+2AB\times AQ+2AC^2+2PA\times AC$

$2BC^2=2AB(AB+AQ)+2AC(AC+PA)$

$2BC^2=2AB\times BQ+2AC\times PC$

两边除以2，得到，

$BC^2=AB\times BQ+AC\times PC$

证毕。

教程点

更新时间： 2022年10月10日

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