如图所示，在圆心为 $O$ 的圆上作两条切线 $A B$ 和 $A C$，使得 $\angle B A C=120^{\circ}$。证明 $O A=2 A B$。"\n

已知

如图所示，在圆心为 $O$ 的圆上作两条切线 $A B$ 和 $A C$，使得 $\angle B A C=120^{\circ}$。

要求

我们需要证明 $O A=2 A B$。

解答

在 $\triangle OAB$ 和 $\triangle OAC$ 中，
$\angle OBA = \angle OCA - 90^o$    ($OB$ 和 $OC$ 是半径)

$OA = OA$    (公共边)

$OB = OC$     (圆的半径)

$\triangle OAB\ \sim\ \triangle OAC$

$\angle OAB = \angle OAC = 60^o$

在直角三角形 $OAB$ 中，

$\cos 60^{\circ}=\frac{AB}{OA}$

$\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{AB}{OA}$

$\Rightarrow OA=2AB$

证毕。

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更新于: 2022年10月10日

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