在以$C$为直角的直角三角形$\triangle A B C$中，如果$D$是$B C$的中点，证明$B C^{2}=4(A D^{2}-A C^{2})$。

已知

在以$C$为直角的直角三角形$\triangle A B C$中，$D$是$B C$的中点。
需要做：

我们需要证明$B C^{2}=4(A D^{2}-A C^{2})$。

解答

在$\triangle ADC$中，根据勾股定理，

$AD^2=AC^2+DC^2$

$DC^2=AD^2-AC^2$.....(i)

$BC=2DC$   ($D$是$B C$的中点)

$BC^2=(2DC)^2$

$BC^2=4DC^2$

$BC^2=4(AD^2-AC^2)$    (根据 (i))

证毕。

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更新于: 2022年10月10日

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