如果 $a$ 等于 $9+4\sqrt{5}$ 且 $b$ 等于 $\frac{1}{a}$，则求 $a^2+b^2$ 的值。

已知：$a=9+4\sqrt{5}$ 且 $b=\frac{1}{a}$。

要求：求 $a^2+b^2$ 的值。

解

由已知条件，$a=9+4\sqrt{5}$ 且 $b=\frac{1}{a}=\frac{1}{9+4\sqrt{5}}$

$\Rightarrow b=\frac{1}{9+4\sqrt{5}}=\frac{1}{9+4\sqrt{5}}\times\frac{9-4\sqrt{5}}{9-4\sqrt{5}}$

$\Rightarrow b=\frac{9-4\sqrt{5}}{9^2-( 4\sqrt{5})^2)}$

$\Rightarrow b=\frac{9-4\sqrt{5}}{81-80}$

$\Rightarrow b=9-4\sqrt{5}$

因此，$a^2+b^2=( 9+4\sqrt{5})^2+( 9-4\sqrt{5})^2$

$=81+72\sqrt{5}+80+81-72\sqrt{5}+80$

$=322$

因此，$a^2+b^2=322$。

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更新于： 2022年10月10日

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